Suponha que você se aposente aos 70 anos com uma poupança de R$800.000,00 aplicada em um fundo.
a) Quanto você poderá sacar desse fundo e gastar por ano, pelos próximos 25 anos, supondo esses gastos constantes em termos reais? Suponha uma taxa real de 4% a.a. de rendimento do fundo e o primeiro saque um ano após a aposentadoria.
R = P.FPR(4%;25)
R = P.i(1 + i)^n/[(1 + i)^n - 1]
R = 800000.0,04(1 + 0,04)^25/[(1 + 0,04)^25 - 1]
R = 800000.0,064011963
R = 51209,57022
b)Quanto você deveria aplicar por ano (depósito constante em termos reais) nesse fundo, dos 35 aos 70 anos (36 depósitos), para conseguir uma poupança de R$800.000,00?
S = R.FRS(4%;36)
S = R.[(1 + i)^n - 1]/i
800000 = R.[1,04^36 - 1]/0,04
R = 800000/77,59831385
R = 10309,50236
Considere uma taxa de juros mensal de 3%. Construa um fluxo com 11 prestações mensais e postecipadas para um financiamento de R$50.000,00 considerando que, no terceiro mês, exista somente uma prestação de R$10.000,00, sendo as prestações dos demais meses iguais entre sim, mas diferentes da prestação do terceiro mês.
0: 50000
1: R
2: R
3: R + (10000 - R)
4: R
5: R
6: R
7: R
8: R
9: R
10: R
11: R
P = R.FRP(3%;11) + (10000 - R).FSP(3%;3)
P = R.[(1 + i)^n - 1]/[i(1 + i)^n] + (10000 - R).[i/(1 + i)^n]
50000 = R.[(1 + 0,03)^11 - 1]/[0,03(1 + 0,03)^11] + (10000 - R).[0,03/(1 + 0,03)^3]
50000 = R.9,252624118 + (10000 - R).0,02745425
50000 = R.9,252624118 + 10000.0,02745425 - R.0,02745425
50000 = R.9,225169868 + 274,5425
R = 49725,4575/9,225169868
R = 5390,194242
Substituindo no fluxo acima:
0: 50000
1: -5390,19
2: -5390,19
3: -5390,19 + (-10000 + 5390,19) = -10000
4: -5390,19
5: -5390,19
6: -5390,19
7: -5390,19
8: -5390,19
9: -5390,19
10: -5390,19
11: -5390,19
Os sinais foram trocados para negativo, pois você estará pagando o financiamento.
Uma empresa distribui dividendos semestrais. Admitindo que os dividendos cresçam a uma taxa de 3% a.s. e que, para esse nível de risco, a taxa de retorno requerida seja de 8% a.s., qual o valor teórico da ação hoje, admitindo que, no próximo semestre, o dividendo esperado seja de R$25,00?
Pesquisando o site http://www.teachmefinance.com/Portuguese/stockvaluation.html, faça como abaixo.
Fórmula de Crescimento Constante: Po = D1/(Ks - G)
* Po = Preço
* D1 = O próximo dividendo. D1 = D0(1 + G)
* Ks = Taxa de Retorno
* G = Taxa de Crescimento
O que é todo esse negócio de D1 e D0 ?
* D1 é o próximo dividendo
* D0 é o último dividendo
Bem estamos assumindo que a empresa tem crescimento constante, certo. Assim, tomamos o último dividendo, multiplicamo-lo pela sua taxa de crescimento e podemos obter o próximo dividendo.
* Dividendo dos últimos anos = $ 25,00 - $ 25,00/1,03 = $ 0,72815534
* Taxa de Crescimento = 3%
* Taxa de Retorno = 8%
Primeiro compreenda D1.
* D1 = D0 (1 + G)
* D1 = $ 0,72815534 ( 1 + 0,03)
* D1 = $ 0,72815534 (1,03)
* D1 = $ 0,75
Agora nossa fórmula:
* Po = D1 / (Ks - G)
* Po = $ 0,75 / (0,08 - 0,03)
* Po = $ 0,75 / 0,05
* Po = $ 15,00
Então, se quisermos obter uma taxa de retorno de 8% sobre o nosso dinheiro, e assumimos que a empresa crescerá para sempre a 3% ao ano, então estaríamos dispostos a pagar $ 15,00 por esta ação. Isto de qualquer modo é a teoria. E novamente, aqui está nossa nota de isenção.
T+
--
Flávio Augusto de Freitas
Tecnólogo em Processamento de Dados e Especialista em Matemática Superior (Análise Real, Equações Diferenciais e Cálculo Superior)
:: zz4fff@gmail.com :: zz4fff@hotmail.com :: zz4fff@yahoo.com.br ::
quarta-feira, 11 de junho de 2008
domingo, 8 de junho de 2008
Mais exercícios resolvidos
Suponha que você se aposente aos 70 anos com uma poupança de R$800.000,00 aplicada em um fundo.
a) Quanto você poderá sacar desse fundo e gastar por ano, pelos próximos 25 anos, supondo esses gastos constantes em termos reais? Suponha uma taxa real de 4% a.a. de rendimento do fundo e o primeiro saque um ano após a aposentadoria.
R = P.FPR(4%;25)
R = P.i(1 + i)^n/[(1 + i)^n - 1]
R = 800000.0,04(1 + 0,04)^25/[(1 + 0,04)^25 - 1]
R = 800000.0,064011963
R = 51209,57022
b)Quanto você deveria aplicar por ano (depósito constante em termos reais) nesse fundo, dos 35 aos 70 anos (36 depósitos), para conseguir uma poupança de R$800.000,00?
S = R.FRS(4%;36)
S = R.[(1 + i)^n - 1]/i
800000 = R.[1,04^36 - 1]/0,04
R = 800000/77,59831385
R = 10309,50236
Considere uma taxa de juros mensal de 3%. Construa um fluxo com 11 prestações mensais e postecipadas para um financiamento de R$50.000,00 considerando que, no terceiro mês, exista somente uma prestação de R$10.000,00, sendo as prestações dos demais meses iguais entre sim, mas diferentes da prestação do terceiro mês.
0: 50000
1: R
2: R
3: R + (10000 - R)
4: R
5: R
6: R
7: R
8: R
9: R
10: R
11: R
P = R.FRP(3%;11) + (10000 - R).FSP(3%;3)
P = R.[(1 + i)^n - 1]/[i(1 + i)^n] + (10000 - R).[i/(1 + i)^n]
50000 = R.[(1 + 0,03)^11 - 1]/[0,03(1 + 0,03)^11] + (10000 - R).[0,03/(1 + 0,03)^3]
50000 = R.9,252624118 + (10000 - R).0,02745425
50000 = R.9,252624118 + 10000.0,02745425 - R.0,02745425
50000 = R.9,225169868 + 274,5425
R = 49725,4575/9,225169868
R = 5390,194242
Substituindo no fluxo acima:
0: 50000
1: -5390,19
2: -5390,19
3: -5390,19 + (10000 - 5390,19) = -10000
4: -5390,19
5: -5390,19
6: -5390,19
7: -5390,19
8: -5390,19
9: -5390,19
10: -5390,19
11: -5390,19
Os sinais foram trocados para negativo, pois você estará pagando o financiamento.
Uma empresa distribui dividendos semestrais. Admitindo que os dividendos cresçam a uma taxa de 3% a.s. e que, para esse nível de risco, a taxa de retorno requerida seja de 8% a.s., qual o valor teórico da ação hoje, admitindo que, no próximo semestre, o dividendo esperado seja de R$25,00? Não entendo nada disso, mas olhando o site http://www.teachmefinance.com/Portuguese/stockvaluation.html, penso que deve ser como abaixo.
Fórmula de Crescimento Constante: Po = D1/(Ks - G)
* Po = Preço
* D1 = O próximo dividendo. D1 = D0(1 + G)
* Ks = Taxa de Retorno
* G = Taxa de Crescimento
O que é todo esse negócio de D1 e D0 ?
* D1 é o próximo dividendo
* D0 é o último dividendo
Bem estamos assumindo que a empresa tem crescimento constante, certo. Assim, tomamos o último dividendo, multiplicamo-lo pela sua taxa de crescimento e podemos obter o próximo dividendo.
* Dividendo dos últimos anos = $ 25,00 - $ 25,00/1,03 = $ 0,72815534
* Taxa de Crescimento = 3%
* Taxa de Retorno = 8%
Primeiro compreenda D1.
* D1 = D0 (1 + G)
* D1 = $ 0,72815534 ( 1 + 0,03)
* D1 = $ 0,72815534 (1,03)
* D1 = $ 0,75
Agora nossa fórmula:
* Po = D1 / (Ks - G)
* Po = $ 0,75 / (0,08 - 0,03)
* Po = $ 0,75 / 0,05
* Po = $ 15,00
Então, se quisermos obter uma taxa de retorno de 8% sobre o nosso dinheiro, e assumimos que a empresa crescerá para sempre a 3% ao ano, então estaríamos dispostos a pagar $ 15,00 por esta ação. Isto de qualquer modo é a teoria. E novamente, aqui está nossa nota de isenção.
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Flávio Augusto de Freitas
Tecnólogo em Processamento de Dados e Especialista em Matemática Superior (Análise Real, Equações Diferenciais e Cálculo Superior)
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a) Quanto você poderá sacar desse fundo e gastar por ano, pelos próximos 25 anos, supondo esses gastos constantes em termos reais? Suponha uma taxa real de 4% a.a. de rendimento do fundo e o primeiro saque um ano após a aposentadoria.
R = P.FPR(4%;25)
R = P.i(1 + i)^n/[(1 + i)^n - 1]
R = 800000.0,04(1 + 0,04)^25/[(1 + 0,04)^25 - 1]
R = 800000.0,064011963
R = 51209,57022
b)Quanto você deveria aplicar por ano (depósito constante em termos reais) nesse fundo, dos 35 aos 70 anos (36 depósitos), para conseguir uma poupança de R$800.000,00?
S = R.FRS(4%;36)
S = R.[(1 + i)^n - 1]/i
800000 = R.[1,04^36 - 1]/0,04
R = 800000/77,59831385
R = 10309,50236
Considere uma taxa de juros mensal de 3%. Construa um fluxo com 11 prestações mensais e postecipadas para um financiamento de R$50.000,00 considerando que, no terceiro mês, exista somente uma prestação de R$10.000,00, sendo as prestações dos demais meses iguais entre sim, mas diferentes da prestação do terceiro mês.
0: 50000
1: R
2: R
3: R + (10000 - R)
4: R
5: R
6: R
7: R
8: R
9: R
10: R
11: R
P = R.FRP(3%;11) + (10000 - R).FSP(3%;3)
P = R.[(1 + i)^n - 1]/[i(1 + i)^n] + (10000 - R).[i/(1 + i)^n]
50000 = R.[(1 + 0,03)^11 - 1]/[0,03(1 + 0,03)^11] + (10000 - R).[0,03/(1 + 0,03)^3]
50000 = R.9,252624118 + (10000 - R).0,02745425
50000 = R.9,252624118 + 10000.0,02745425 - R.0,02745425
50000 = R.9,225169868 + 274,5425
R = 49725,4575/9,225169868
R = 5390,194242
Substituindo no fluxo acima:
0: 50000
1: -5390,19
2: -5390,19
3: -5390,19 + (10000 - 5390,19) = -10000
4: -5390,19
5: -5390,19
6: -5390,19
7: -5390,19
8: -5390,19
9: -5390,19
10: -5390,19
11: -5390,19
Os sinais foram trocados para negativo, pois você estará pagando o financiamento.
Uma empresa distribui dividendos semestrais. Admitindo que os dividendos cresçam a uma taxa de 3% a.s. e que, para esse nível de risco, a taxa de retorno requerida seja de 8% a.s., qual o valor teórico da ação hoje, admitindo que, no próximo semestre, o dividendo esperado seja de R$25,00? Não entendo nada disso, mas olhando o site http://www.teachmefinance.com/Portuguese/stockvaluation.html, penso que deve ser como abaixo.
Fórmula de Crescimento Constante: Po = D1/(Ks - G)
* Po = Preço
* D1 = O próximo dividendo. D1 = D0(1 + G)
* Ks = Taxa de Retorno
* G = Taxa de Crescimento
O que é todo esse negócio de D1 e D0 ?
* D1 é o próximo dividendo
* D0 é o último dividendo
Bem estamos assumindo que a empresa tem crescimento constante, certo. Assim, tomamos o último dividendo, multiplicamo-lo pela sua taxa de crescimento e podemos obter o próximo dividendo.
* Dividendo dos últimos anos = $ 25,00 - $ 25,00/1,03 = $ 0,72815534
* Taxa de Crescimento = 3%
* Taxa de Retorno = 8%
Primeiro compreenda D1.
* D1 = D0 (1 + G)
* D1 = $ 0,72815534 ( 1 + 0,03)
* D1 = $ 0,72815534 (1,03)
* D1 = $ 0,75
Agora nossa fórmula:
* Po = D1 / (Ks - G)
* Po = $ 0,75 / (0,08 - 0,03)
* Po = $ 0,75 / 0,05
* Po = $ 15,00
Então, se quisermos obter uma taxa de retorno de 8% sobre o nosso dinheiro, e assumimos que a empresa crescerá para sempre a 3% ao ano, então estaríamos dispostos a pagar $ 15,00 por esta ação. Isto de qualquer modo é a teoria. E novamente, aqui está nossa nota de isenção.
T+
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Flávio Augusto de Freitas
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sábado, 7 de junho de 2008
Fatores de Matemática Financeira :: Juro Composto
Atenção
O fator FSP ficou incorreto na imagem. O correto é [1/(1 + i)n].Onde:
S = montante
P = principal
n = período de tempo
i = taxa na forma decimal (1% <=> 0,01)
R = pagamento por período
FPS = Fator de Principal para Montante
FSP = Fator de Montante para Principal
FPR = Fator de Principal para Pagamento
FRP = Fator de Pagamento para Principal
FRS = Fator de Pagamento para Montante
FSR = Fator de Montante para Pagamento
Atenciosamente,
sexta-feira, 6 de junho de 2008
Diversos exercícios resolvidos passo-a-passo
Direto ao assunto:
Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
n = 9 meses = 3 trimestres
C = X
M = 3X
i = ?
M = C(1 + i)^n
3X = X(1 + i)^3
3 = (1 + i)^3
log 3 = 3.log(1 + i)
log(1 + i) = 0,477121255/3
1 + i = 10^0,159040418
i = 1,442249571 - 1
i = 0,442249571 => 44,22 % a.t.
Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?
Se rendeu um juro igual ao capital aplicado, então dobrou.
n = 10 meses
C = X
M = 2X
i = ?
M = C(1 + i)^n
2X = X(1 + i)^10
2 = (1 + i)^10
log 2 = 10.log(1 + i)
log(1 + i) = 0,301029996/10
1 + i = 10^0,03010299996
i = 1,071773463 - 1
i = 0,071773463 => 7,18 % a.m.
Calcule a taxa de depósito para que um capital qualquer duplique o seu valor sabendo-se que a capitalização é semestral, que o período de aplicação é de 1 ano e seis meses e que o regime de capitalização é composta.
A resposta do módulo é 25,99%
n = 1,5 anos => 3 semestres
M = C(1 + i)^n
2x = x(1 + i)^3
2 = (1 + i)^3
log(2) = log[(1 + i)^3]
log(2) = 3.log(1 + i)
log(1 + i) = log(2)/3
log(1 + i) = 0,10034333188799373173791296490816
1 + i = 10^0,10034333188799373173791296490816
1 + i = 1,2599210498948731647672106072782
i = 1,2599210498948731647672106072782 - 1
i = 0,2599210498948731647672106072782
Então temos 25,99210498948731647672106072782 % ao semestre
1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8000(1 + 0,03)^14
M = 8000.1,03^14
M = 8000.1,512589725 = 12100,7178
2. Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000 a 4,5% a.m., capitalizados mensalmente durante 8 meses.
M = C(1 + i)^n
j = M - C
j = C(1 + i)^n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
j = 20000[(1 + 0,045)^8 - 1]
j = 20000[1,045^8 - 1]
j = 20000[1,422100613 - 1]
j = 20000.0,422100613 = 8442,01226
3. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês?
M = C(1 + i)^n
M = 6800(1 + 0,038)^4
M = 6800.1,038^4
M = 6800.1,160885573 = 7894,021896
4. Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8500(1 + 0,025)^40
M = 8500.1,025^40
M = 8500.2,685063838 = 22823,04262
5. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19752.
M = C(1 + i)^n
C = M/(1 + i)^n
C = M(1 + i)^-n
C = 19752(1 + 0,035)^-8
C = 19752.1,035^-8
C = 19752.0,759411556 = 14999,89706
6. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?
M = C(1 + i)^n
146853 = 100000(1 + 0,03)^n
1,03^n = 146853/100000
1,03^n = 1,46853
log(1,03^n) = log(1,46853)
n.log(1,03) = log(1,46853)
n = log(1,46853)/log(1,03)
n = 0,166882823/0,012837225
n = 12,99991446 => 13 meses
7. Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação.
M = C(1 + i)^n
j = M - C
j = C(1 + i)^n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
3774 = 20000[(1 + i)^7 - 1]
(1 + i)^7 - 1 = 3774/20000
(1 + i)^7 = 0,1887 + 1
log[(1 + i)^7] = log(1,1887)
7.log(1 + i) = 0,075072263
log(1 + i) = 0,075072263/7
log(1 + i) = 0,010724609
(1 + i) = 10^0,010724609
i = 1,025001755 - 1
i = 0,025001755 => 2,5 % a.m.
8. Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000 disponivel no fim de 4 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 6000(1,025)^4
M = 6622,88
9. Qual o valor atual de um título de R$ 15.000, resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre?
Você deve estar falando de Desconto Racional composto (por dentro). É esse que utilizei.
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 15000[1,06^3 - 1]/1,06^3
D = 2405,71
Como D = N - A, vem:
2405,71 = 15000 - A
A = 15000 - 2405,71 = 12594,29
10. Um título de valor nominal de R$ 2.000 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual?
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 2000[1,2^4 - 1]/1,2^4
D = 1035,49
A = N - D
A = 2000 - 1035,49 = 964,51
11. Um título de R$ 75.000 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por R$ 67.646. Calcule o tempo de antecipação do resgate.
D = N - A
D = 75000 - 67646 = 7354
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
7354 = 75000[1,035^n - 1]/1,035^n
7354.1,035^n/75000 - 1,035^n = -1
1,035^n(7354/75000 - 1) = -1
1,035^n = -1/(7354/75000 - 1)
1,035^n = 1,108713006
log(1,035^n) = log(1,108713006)
n.log(1,035) = log(1,108713006)
n = log(1,108713006)/log(1,035)
n = 2,999872344 => ~3 meses
12. Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 24.658. Calcule o valor da letra.
D = N - A => D = N - 24658
mas D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n, donde vem:
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
N - 24658 = N[1,04^5 - 1]/1,04^5
N - N[1,04^5 - 1]/1,04^5 = 24658
N(1 - 0,178072893) = 24658
N = 24658/0,821927107
N = 30000,22726
13. Uma pessoa deposita R$ 200 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?
S = R.FRS(2%;24)
S = 200.[(1 + i)^n - 1]/i
S = 200.[1,02^24 - 1]/0,02
S = 200.30,42186245
S = 6084,37249
14. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1½ % ao mês?
S = R.FRS(1,5%;36)
35457 = R.[1,015^36 - 1]/0,015
R = 35457/47,2759692
R = 750,0004886
15. Uma pessoa deposita R$ 5.000 em uma instituição financeira no início de cada trimestre. Sabendo que a taxa de juros é de 6% ao trimestre, qual o montante no fim de 1½ ano.
S = R.FRS(6%;6)
S = R.[(1 + i)^n - 1]/i
S = 5000.[1,06^6 - 1]/0,06
S = 5000.6,975318533
S = 34876,59267
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Flávio Augusto de Freitas
Tecnólogo em Processamento de Dados e Especialista em Matemática Superior (Análise Real, Equações Diferenciais e Cálculo Superior)
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Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
n = 9 meses = 3 trimestres
C = X
M = 3X
i = ?
M = C(1 + i)^n
3X = X(1 + i)^3
3 = (1 + i)^3
log 3 = 3.log(1 + i)
log(1 + i) = 0,477121255/3
1 + i = 10^0,159040418
i = 1,442249571 - 1
i = 0,442249571 => 44,22 % a.t.
Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?
Se rendeu um juro igual ao capital aplicado, então dobrou.
n = 10 meses
C = X
M = 2X
i = ?
M = C(1 + i)^n
2X = X(1 + i)^10
2 = (1 + i)^10
log 2 = 10.log(1 + i)
log(1 + i) = 0,301029996/10
1 + i = 10^0,03010299996
i = 1,071773463 - 1
i = 0,071773463 => 7,18 % a.m.
Calcule a taxa de depósito para que um capital qualquer duplique o seu valor sabendo-se que a capitalização é semestral, que o período de aplicação é de 1 ano e seis meses e que o regime de capitalização é composta.
A resposta do módulo é 25,99%
n = 1,5 anos => 3 semestres
M = C(1 + i)^n
2x = x(1 + i)^3
2 = (1 + i)^3
log(2) = log[(1 + i)^3]
log(2) = 3.log(1 + i)
log(1 + i) = log(2)/3
log(1 + i) = 0,10034333188799373173791296490816
1 + i = 10^0,10034333188799373173791296490816
1 + i = 1,2599210498948731647672106072782
i = 1,2599210498948731647672106072782 - 1
i = 0,2599210498948731647672106072782
Então temos 25,99210498948731647672106072782 % ao semestre
1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8000(1 + 0,03)^14
M = 8000.1,03^14
M = 8000.1,512589725 = 12100,7178
2. Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000 a 4,5% a.m., capitalizados mensalmente durante 8 meses.
M = C(1 + i)^n
j = M - C
j = C(1 + i)^n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
j = 20000[(1 + 0,045)^8 - 1]
j = 20000[1,045^8 - 1]
j = 20000[1,422100613 - 1]
j = 20000.0,422100613 = 8442,01226
3. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês?
M = C(1 + i)^n
M = 6800(1 + 0,038)^4
M = 6800.1,038^4
M = 6800.1,160885573 = 7894,021896
4. Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8500(1 + 0,025)^40
M = 8500.1,025^40
M = 8500.2,685063838 = 22823,04262
5. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19752.
M = C(1 + i)^n
C = M/(1 + i)^n
C = M(1 + i)^-n
C = 19752(1 + 0,035)^-8
C = 19752.1,035^-8
C = 19752.0,759411556 = 14999,89706
6. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?
M = C(1 + i)^n
146853 = 100000(1 + 0,03)^n
1,03^n = 146853/100000
1,03^n = 1,46853
log(1,03^n) = log(1,46853)
n.log(1,03) = log(1,46853)
n = log(1,46853)/log(1,03)
n = 0,166882823/0,012837225
n = 12,99991446 => 13 meses
7. Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação.
M = C(1 + i)^n
j = M - C
j = C(1 + i)^n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
3774 = 20000[(1 + i)^7 - 1]
(1 + i)^7 - 1 = 3774/20000
(1 + i)^7 = 0,1887 + 1
log[(1 + i)^7] = log(1,1887)
7.log(1 + i) = 0,075072263
log(1 + i) = 0,075072263/7
log(1 + i) = 0,010724609
(1 + i) = 10^0,010724609
i = 1,025001755 - 1
i = 0,025001755 => 2,5 % a.m.
8. Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000 disponivel no fim de 4 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 6000(1,025)^4
M = 6622,88
9. Qual o valor atual de um título de R$ 15.000, resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre?
Você deve estar falando de Desconto Racional composto (por dentro). É esse que utilizei.
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 15000[1,06^3 - 1]/1,06^3
D = 2405,71
Como D = N - A, vem:
2405,71 = 15000 - A
A = 15000 - 2405,71 = 12594,29
10. Um título de valor nominal de R$ 2.000 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual?
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 2000[1,2^4 - 1]/1,2^4
D = 1035,49
A = N - D
A = 2000 - 1035,49 = 964,51
11. Um título de R$ 75.000 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por R$ 67.646. Calcule o tempo de antecipação do resgate.
D = N - A
D = 75000 - 67646 = 7354
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
7354 = 75000[1,035^n - 1]/1,035^n
7354.1,035^n/75000 - 1,035^n = -1
1,035^n(7354/75000 - 1) = -1
1,035^n = -1/(7354/75000 - 1)
1,035^n = 1,108713006
log(1,035^n) = log(1,108713006)
n.log(1,035) = log(1,108713006)
n = log(1,108713006)/log(1,035)
n = 2,999872344 => ~3 meses
12. Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 24.658. Calcule o valor da letra.
D = N - A => D = N - 24658
mas D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n, donde vem:
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
N - 24658 = N[1,04^5 - 1]/1,04^5
N - N[1,04^5 - 1]/1,04^5 = 24658
N(1 - 0,178072893) = 24658
N = 24658/0,821927107
N = 30000,22726
13. Uma pessoa deposita R$ 200 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?
S = R.FRS(2%;24)
S = 200.[(1 + i)^n - 1]/i
S = 200.[1,02^24 - 1]/0,02
S = 200.30,42186245
S = 6084,37249
14. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1½ % ao mês?
S = R.FRS(1,5%;36)
35457 = R.[1,015^36 - 1]/0,015
R = 35457/47,2759692
R = 750,0004886
15. Uma pessoa deposita R$ 5.000 em uma instituição financeira no início de cada trimestre. Sabendo que a taxa de juros é de 6% ao trimestre, qual o montante no fim de 1½ ano.
S = R.FRS(6%;6)
S = R.[(1 + i)^n - 1]/i
S = 5000.[1,06^6 - 1]/0,06
S = 5000.6,975318533
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Flávio Augusto de Freitas
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terça-feira, 3 de junho de 2008
Poupando Para o Casamento de Carolina
Após o nascimento de Carolina, seu pai resolveu depositar, no último dia de cada mês, certa quantia em dinheiro, de tal modo a oferecer-lhe um presente no valor de $280.000,00 por ocasião de seu casamento. Considerando uma taxa de 13% a.a. e que o casamento de Carolina ocorrerá no último dia do mês do seu 27º aniversário, qual deverá ser o valor dos depósitos mensais?
Primeiro temos de converter a taxa de 13% a.a. efetiva, em taxa nominal.
Na HP:
f CLEAR FIN
g END
12 n
100 PV
113 FV (100 + 13%)
i
A HP responde 1,0236817 (a taxa nominal mensal). Ao ano seriam 12,284181 %.
Na HP:
f FIN
i
27 g 12x
280000 FV
PMT
A HP responde -109,7822158
T+
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Flávio Augusto de Freitas
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Primeiro temos de converter a taxa de 13% a.a. efetiva, em taxa nominal.
Na HP:
f CLEAR FIN
g END
12 n
100 PV
113 FV (100 + 13%)
i
A HP responde 1,0236817 (a taxa nominal mensal). Ao ano seriam 12,284181 %.
Na HP:
f FIN
i
27 g 12x
280000 FV
PMT
A HP responde -109,7822158
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Equivalência de Fluxos de Caixa
Um empréstimo contratado à taxa de juros de 2,3% a.m., em Março, deverá ser liquidado por meio das seguintes prestações mensais durante o mesmo ano de sua contratação:
DATA PRESTAÇÕES ($)
Abril $ 1.200
Maio $ 850
Junho $ 980
Julho $ 1.350
Agosto $ 1.500
Qual seria o valor da prestação constante, a ser paga nas mesmas datas, que também liquidaria essa dívida?
Se x fosse o valor do empréstimo, então os saldos devedores seriam:
Mês Saldo
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DATA PRESTAÇÕES ($)
Abril $ 1.200
Maio $ 850
Junho $ 980
Julho $ 1.350
Agosto $ 1.500
Qual seria o valor da prestação constante, a ser paga nas mesmas datas, que também liquidaria essa dívida?
Se x fosse o valor do empréstimo, então os saldos devedores seriam:
Mês Saldo
Março x
Abril x.1,023 - 1200
Maio (x.1,023 - 1200)1,023 - 850
Junho ((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980
Julho (((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350
Agosto ((((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350)1,023 - 1500
Após este último pagamento o saldo deveria zerar. Portanto:
((((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350)1,023 - 1500 = 0
Isolando x, vem:
((((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350)1,023 = 1500
(((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350 = 1500/1,023
(((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 = 1500/1,023 + 1350
((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980 = (1500/1,023 + 1350)/1,023
((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 = (1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980
(x.1,023 - 1200)1,023 - 850 = ((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023
(x.1,023 - 1200)1,023 = ((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023 + 850
x.1,023 - 1200 = (((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023 + 850)/1,023
x.1,023 = (((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023 + 850)/1,023 + 1200
x = ((((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023 + 850)/1,023 + 1200)/1,023
Calculando x, temos:
x = 5472,02 => Esse foi o valor emprestado.
Calculando o PMT desse PV, vem:
f CLEAR FIN
5 n
2,3 i
5472,02 PV
PMT
A HP responde -1171,06 (negativo, pois estará pagando).
T+
Abril x.1,023 - 1200
Maio (x.1,023 - 1200)1,023 - 850
Junho ((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980
Julho (((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350
Agosto ((((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350)1,023 - 1500
Após este último pagamento o saldo deveria zerar. Portanto:
((((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350)1,023 - 1500 = 0
Isolando x, vem:
((((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350)1,023 = 1500
(((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 - 1350 = 1500/1,023
(((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980)1,023 = 1500/1,023 + 1350
((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 - 980 = (1500/1,023 + 1350)/1,023
((x.1,023 - 1200)1,023 - 850)1,023 = (1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980
(x.1,023 - 1200)1,023 - 850 = ((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023
(x.1,023 - 1200)1,023 = ((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023 + 850
x.1,023 - 1200 = (((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023 + 850)/1,023
x.1,023 = (((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023 + 850)/1,023 + 1200
x = ((((1500/1,023 + 1350)/1,023 + 980)/1,023 + 850)/1,023 + 1200)/1,023
Calculando x, temos:
x = 5472,02 => Esse foi o valor emprestado.
Calculando o PMT desse PV, vem:
f CLEAR FIN
5 n
2,3 i
5472,02 PV
PMT
A HP responde -1171,06 (negativo, pois estará pagando).
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